课题：平面向量基本定理与坐标运算

来源：网友投稿发布时间：2022-06-09 15:45:02

下面是小编为大家整理的课题：平面向量基本定理与坐标运算,供大家参考。

课题：平面向量基本定理与坐标运算

　平面向量 ---- 平面向量基本定理与坐标运算

　一、知识点梳理

　1 1 、平面向量基本定理

　定理:如果1 2e e 、是同一平面内的两个

　向量，那么对于这个平面内的任意向量 a ，

　一组基底. 2 2 、夹角

　（1）已知两个

　向量 a b 和，作 , OA a OB b   ,则AOB    ，叫做向量 a b 与的夹角. （2）向量夹角  的范围是

　， a b 与同向时，夹角  =

　； a b 与反向时，夹角  =

　. （ 3 ）

　如果向量 a b 与的夹角为

　时，则 a b 与垂直，记作:

　 . 3 3 、平面向量的正交分解: :把一个向量分解为两个

　的向量，叫做把向量正交分解. 4 4 、平面向量的坐标表示

　（1）在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i j 、作为基底，对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 , x y ，使 a xi y j   ，把有序数对

　叫做 a 的坐标，记作: a =

　，其中

　叫做 a 在 x 轴上的坐标，

　叫做 a 在 y 轴上的坐标. （2）设 OA xi y j   ，则向量 OA 的坐标 ( , ) x y 就是

　的坐标，即若 OA = ( , ) x y ，则点 A 的坐标为

　，反之亦成立（ O 是坐标原点）. 5 5 、平面向量的坐标运算

　（1）加法、减法、数乘的运算：已知向量1 1 2 2( , ), ( , ) a x y b x y   和实数  ，那么 a b  =

　，a b  =

　， a  =

　. （2）向量坐标的求法：已知1 1 2 2( , ), ( , ) A x y B x y ，则 AB =

　，即一个向量的坐标等于该向量

　的坐标减去

　的坐标. 6 6 、平面向量共线的坐标表示

　（1）若1 1 2 2( , ), ( , )( 0) a x y b x y b    则 // a b 的充要条件是

　 . （2）线段中点坐标公式及推广：设1 1 1 2 2 2( , ), ( , ) P x y P x y

　①则1 2PP 的中点 P 的坐标为

　；②若 P 是1 2PP 的三等分点，则 P 的坐标为

　或

　；③若1 2PP PP   ，设 ( , ) P x y ，则 x =

　， y 

　. 二、基础巩固练习

　1、若 (2,4) AB  ， (1,3) AC  ,

　则 BC 

　. 2、已知平面向量 a =(1,2), b =(-2,m), 且 a ∥ b , 则 2 a +3 b =

　 . 3、已知平面向量 (1 3)   ， a ， (4 2)   ， b ，   a b 与 a 垂直，则  

　. 4、已知四边形 ABCD 的三个顶点 (0 2) A ，， ( 1 2) B   ，， (31) C ，，且 2 BC AD  ，则顶点 D 的坐标为

　 . 5、已知 a b c ，，为 ABC △ 的三个内角 A B C ，，的对边，向量 ( 3 1) (cos sin ) A A    ，，， m n ．若  m n ，且 cos cos sin a B b A c C   ，则角 A B ，的大小分别为

　. 6、关于平面向量，， a b c ．有下列三个命题：

　①若 a b=a c ，则  b c ．②若 (1 ) ( 2 6) k    ，，， a b ， ∥ a b ，则 3 k  ． ③非零向量 a 和 b 满足 | | | | | |    a b a b ，则 a 与  a b 的夹角为 60 ．其中真命题的序号为

　．（写出所有真命题的序号）

　三、例题精选

　例 1、设坐标平面上有三点 , , A B C i j 、、分别是坐标平面上 x 轴， y 轴正方向的单位向量，若向量2 , AB i j BC i m j     ，那么是否存在实数 m ，使 , , A B C 三点共线.

　例 2、已知向量 (cos ,sin ), ( 2 sin ,cos ), ( ,2 ) m n            ，且8 2| |5m n   ，求cos( )2 8  的值.

　例 3（08 年福建 17）、已知向量 (sin ,cos ), (1, 2) m A A n    ,且 0. m n  

　(1)求 tanA 的值； (2)求函数 ( ) cos2 tan sin ( f x x A x x    R)的值域.

　例 4、已知向量 ( , ) u x y  与向量 ( ,2 ) v y y x   的对应关系记作 ( ). v f u 

　O A B a

　

　（1）求证：对于任意向量 , a b 及常数 , m n ，恒有 ( ) ( ) ( ) f ma nb mf a nf b    ；（2）若 (1,1), (1,0) a b   ，用坐标表示 ( ) f a 和 ( ) f b ；（3）求使 ( ) ( , )( , f c p q p q  为常数）的向量 c 的坐标.

　例 5、如图，已知 OFP  的面积为 m ，且 1 OF FP  

　四、反馈练习

　1、已知平面上直线 l 的方向向量4 3( , )5 5e   ，点 (0,0) O 和点 (1, 2) A  在直线 l 上的射影分别为/O和/A ，则/ /O A e   ，其中  =

　 . 2、已知向量 (2,3), ( 1,2) a b    ，若 ma b  与 2 a b  平行，则实数 m =

　. 3、已知向量集合 { | ( 1,1) (1,2), }, { | (1, 2) (2,3), } M a a R N a a R               ，则M N =

　 . 4、已知向量1(3,1), ( 2, )3a b    ，直线 l 过点 (1,2) A 且与向量 2 a b  垂直，则直线 l 的一般方程是

　. 5、已知平面向量 (2 4)  ， a ， ( 12)   ， b ，若 ( )   c a a b b ，则  c

　． 6、已知向量 ( cos , sin )( 0) OA        ， ( sin , cos ) OB     ，其中 O 为坐标原点，若| | 2| | BA OB  对任意实数  、  都成立，则实数  的取值范围是

　. 7、如图，在 OAB  中，1 1, ,4 2OC OA OD OB AD   与 BC 交于点 M ，设 , OA a OB b   ，以{ , } a b 为基底表示 OM .

　 8、在 ABC  中， .42 3| | ),2cos ,2sin25(   aB A B Aa

　（1）求 B A tan tan  的值；（2）当 C  最大时，设 c AB 2 | |  ，求满足 | | |, | , | MB AB MA 成等差数列的动点 M 与顶点 C 的距离的最大值.

　O F P A C O M B

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