高考数学试题必备14篇

2023年高考数学试题第1篇20XX年的数学试题贯彻落实高考评价体系学科化的具体要求，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思下面是小编为大家整理的高考数学试题必备14篇,供大家参考。

2023年高考数学试题 第1篇

20XX年的数学试题贯彻落实高考评价体系学科化的具体要求，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和逻辑推理能力。

固本强基，夯实发展基础。试卷注重对高中基础内容的全面考查，集合、复数、常用逻辑用语、线性规划、平面向量、算法、二项式定理、排列组合等内容在选择题、填空题中得到有效考查。在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现全面性、基础性和综合性的考查要求。在解答题中重点考查函数、导数、三角函数、概率统计、数列、立体几何、直线与圆锥曲线等主干内容。

稳中有变，助力-应试教育。20XX年的数学试卷，在整体设计上保持平稳，包括考查内容的布局、题型的设计、难度和区分度的把控等。试题的排列顺序依然是由易到难，循序渐进。对主观题的布局进行动态调整，考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于-僵化的应试教育。

2023年高考数学试题 第2篇

相比于去年，数学试卷总体稳定，有利于考生稳定心态，正常发挥;适度创新，有利于考查考生的实践能力和锲而不舍的精神。

相比于去年，数学试卷由两套试卷(文理各一套)调整为一套试卷，试题题型依然是选择题、填空题和解答题，每一部分题型的难度预设基本符合从易到难的分布。试题的表述形式简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式及作答方式坚持多样化，延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。

相比于去年，数学试卷在题量分布、分数设置等方面均有变化，调整了部分考查内容，出现了新颖的题目形式。例如选择题由8个小题，每题5分，调整为了10个小题，每题4分，总分保持不变;填空题由6个小题，调整为了5个小题，每题依然是5分，总分由30分降为25分;解答题依然是6个小题，但总分由80分提升为85分。在考查内容上有所调整，删减了一些历年常考的内容，如线性规划、算法和程序框图、参数方程和极坐标等。在题目呈现上出现了一些新的变化，用以区分不同能力水平的学生。例如第(17)题难度并不大，但思维的自由度较大，由考生自行选择设计问题并解答，凸显考生分析和解决问题的能力。

2023年高考数学试题 第3篇

浅谈高考与人生

我N年前也经历过这个特别的时段，想起自己当时内心的忐忑，直到现在，也能够体会到考生家长们此刻的心情。

高考对一个年轻人来说太重要了。高考应该说是年轻人人生重要的开局，高考考差了，去了不好的学校，以后想翻身比较难。开局的学校、第一份工作，给你打下了烙印，再往后发展要在这个基础上爬。在社会化分工的今天，个人再牛逼也是螺丝钉，再强也无法无视社会环境。开局不利，以后要付出巨大的代价扭转，还得看环境是否支持。

对于原生家庭较好的人来说，他永远无法想象底层社会是什么模样?底层社会不只是物质的匮乏，更多的是思想匮乏。简而言之就是思想没有达到那样一个高度吧。越是人均资源匮乏的地方，越是见不得你好的人很多很多。在底层，那些社会阴暗面更为真切立体，所有的勾心斗角，尔虞我诈都被放大无数倍，为了活着，为了获取更多生存资源，有那么多人丧失底线，人格扭曲。贫穷到极致的人，还会出现诸多心理问题。

L先生，妥妥的一枚官二代。格局较大，对许多事不太在意。天性豁达，性格至纯至善。你好时，他为你喝彩，你不好时，他亦不会落井下石。

有一底层者，写个豆腐块，借着单位群体曾获得的荣誉，想暴个脸，弄上公众号发表。这把子年龄了，早已是被后浪拍到岸上的人，还是如此看不开。可笑的是，他双手捧着一群人的名单，一门心思在琢磨不让谁的名字出现在小单位群体名单中，既打压了让他羡慕嫉妒的人，又利用此事讨好了某人，反反复复，琢磨来琢磨去，煞费苦心，真不容易。等到豆腐块再次在公众号登出来，又有几个生活不如意者，发现L先生被刻意漏掉了，于是，认为找到能打击L先生，让他们自己心里舒服些的机会，开始说三道四，故意挑事端，想致L先生于尴尬境地。手法低劣，嘴脸丑陋。后果是被啪啪打脸。

笔者借此事，告诫年轻人，一个人的生存环境真的很重要。

高考成绩的好坏，直接决定了你是否可以进入名校，进入一个更高阶的圈子，享受更优质的生活质量。不要听别人说，高考不重要，跟你说这句话的人，肯定是个不怀好意的人。好的学校资源，可以让你拥有更优质的圈子，当你处在一个优质的圈子时，生活质量也会变得优质。

2023年高考数学试题 第4篇

且=+，当t变化时，的值等于()

A﹣2B0C2D4

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10

如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()

ABCD

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体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p (p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望EX>，则p的取值范围是()

A(0，)B(，1)C(0，)D(，1)

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已知函数f(x)=x3﹣6x2+9x，g(x)=x3﹣x2+ax﹣(a>1)若对任意的

x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围为()

A(1，] B[9，+∞) CD

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填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

若等比数列{an}的前n项和为Sn，，则公比

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某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人 来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.

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已知tanα，tanβ分别是lg(6x2﹣5x+2)=0的两个实根，则tan(α+β)

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若偶函数y=f(x)，x∈R，满足f(x+2)=﹣f(x)，且当x∈[0，2]时，

f(x)=2﹣x2，则方程f(x)=sin|x|在[﹣10，10]内的根的个数为.

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简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知a(sinA﹣sinB)=(c﹣b)(sinC+sinB)

(Ⅰ)求角C;

(Ⅱ)若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

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设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=﹣1+2an

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)若bn=log2an+1，且数列{bn}的前n项和为Tn，求+…+.

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某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;

(Ⅱ)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数;

(Ⅲ)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望.

参考数据：若ξ﹣N(μ，σ2)，则p(μ﹣σ<ξ≤μ+σ)，p(μ﹣2σ<ξ≤μ+2σ)，p(μ﹣3σ<ξ≤μ+3σ)

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在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩

(Ⅰ)证明：PC⊥BD

(Ⅱ)若E是PA的中点，且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值.

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已知函数f(x)=(x﹣1)ex+ax2有两个零点.

(Ⅰ)求a的取值范围;

(Ⅱ)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明x1+x2<

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[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是

ρsin(θ+)=2

(Ⅰ)直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程;

(Ⅱ)点A在C1上，点B在C2上，求|AB|的最小值.

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[选修4-5：不等式选讲]

已知f(x)=|x﹣a|+|x﹣1

(Ⅰ)当a=2，求不等式f(x)<4的解集;

(Ⅱ)若对任意的x，f(x)≥2恒成立，求a的取值范围.

23 第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ){x|﹣

解析

解：(Ⅰ)当a=2时，不等式f(x)<4，即|x﹣2|+|x﹣1|<4，

可得，或或，

解得：﹣

23 第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)(﹣∞，﹣1]∪[3，+∞)

解析

解：

(Ⅱ)∵|x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1|，当且仅当(x﹣a)(x﹣1)≤0时等号成立，

由|a﹣1|≥2，得a≤﹣1或a≥3，

即a的取值范围为(﹣∞，﹣1]∪[3，+∞).

考查方向

本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道基础题.

解题思路

(Ⅰ)将a的值带入，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可;

(Ⅱ)根据绝对值的性质得到关于a的不等式，解出即可.

易错点

(Ⅱ)中三角不等式的应用,

2023年高考数学试题 第5篇

一份有效的考试卷其难度应该是遵循3：5：2的规律的，如果知道这个规律，我们在复习的时候，是不是可以利用高考数学试题的黄金规律呢?

高考题的难度分布为30%的简单题，50%的中等题，20%的难题。这意味着基础题占了120分，它是复习中练题的主要部分，决不能厌烦它。要知道，高考不仅考你对知识的掌握程度，还要考做题的速度，许多同学就是在高考时因时间不够，丢掉了平时能做出来的中等难度题才考砸的，这些教训值得大家三思。

鉴于此，建议大家多花时间在中等以下难度的题上。做难题并非做得越多越好，只能根据自己的程度适量地做：这一是因为对大多数同学来说做难题感到很头疼，容易产生厌烦情绪;二是做难题过多太费时间;三是因为大多数难题是由中等难度题组成，基础题做熟练了，再来做难题会相对容易些。“越是表面复杂的题越有机可乘”这句话非常有道理，高考的难题绝大部分就属于这种表面复杂的类型，它往往给出较多的条件，仔细分析条件的特点通常都能击破它。做难题的关键在于平时总结，自己总结一些小经验、小结论并记牢是非常有用的，能力也提高得快，有余力的同学不妨试试。

时间分配：把80%的时间和精力用于80%的内容

在复习迎考的阶段，不少同学的复习重点常会放在那20%甚至是10%的那部分内容上，我曾经听说有一所学校的高三月考内容是把历年来错误率最高的题目集中起来让学生做，结果当然是可想而知的，考出来的成绩个位数的也有，学生的信心大受打击。其实这类错误率最高的题目大多属于10%的题目，假如我们把自己的注意力集中在这部分的内容上，明摆着是长考试威风，灭自己的志气。而且与复习的策略也不利。

找准位置：80%的内容适合80%的学生的

高考还牵涉到填志愿的问题，自己有没有机会冲一冲，跳起来摘一摘那高高挂起来的苹果;自己有没有必要去攻一攻那20%和10%的难题呢?那么弄清楚自己在所有考生中的相对位置也很重要。你先要考虑的是你所在的学校属于什么性质的，市重点、区重点还是普通高中，你的学校在全市或全区的排名位置在哪里，然后再考虑你在学校的位置，两者结合起来考虑，你大致可以推断出你在全体考生的位置是否在70%左右，还是优秀的20%，还是出类拔萃的10%，然后，你就可以安排你的复习策略，主攻哪一部分的内容。

其实，在复习时，如果你能很好地管好那80%的内容，然后再挑战一下20%的那部分。对于学习成绩中等的同学来说，在高考最后复习阶段，一定要舍得抛弃难题。

之前模拟考试的有些卷子整体难度大，有利于提高水平;但对于高难度的题，一般则采取搁置的态度。以基础和中等难度的题为主，保证做题的准确、速度，在这个基础上适当再做些难题以应考试之万一。

不同层次的学生应该根据自己的情况确定高考目标

高考是一种区分型的考试，所以不可能指望所有的同学都考得多么好，因此要结合自己一贯的情况为自己订出一个明确的目标：一曰总分要达到多少;二曰具体到各科又要达到多少分。一定要实事求是地估计自己的能力，切忌好高务远，然后结合高考“3：5：2”的难度分布确定自己的主攻方向。

对于基础好的同学，不用过多地纠缠于简单题，而应把主要精力放在中等难度题和难题上;对基础不是很好的同学，应在充分练习了简单题和中等难度题的基础上来试攻难题;对基础不好的同学，也许连中等题都感到一定困难，那就应该从解决简单题入手，逐步过渡到中等题，大胆地放弃难题。所谓“放弃”，就是平常基本不做难题，考试时也不过多纠缠于难题，能做多少算多少，一旦做不出就马上“撤退”。之所以建议基础不好的同学这么做，是基于以下几点：

首先，高考中的难题只占约30分，基础题有120分之多，好好地把握这120分，争取提高做题的成功率，若各科都考到110分以上，高考成功就有了相当的把握。

其次，高考不但考解题能力，而且考解题速度，题量相当大，以至大多数同学来不及做完考卷，这时如果你过多地纠缠于难题，浪费了宝贵的时间，该做出的题没了时间，就太不合算了。很多同学总是这也丢不了，那也放不下，结果必然是双重地浪费时间——复习时间和考试时间，所以请同学们认真考虑，相信你能作出明智的选择。

第三，适当留出检查时间，提高正确率。不管何种程度的同学都容易忽视这个相当重要的问题：高考的时间非常紧张，极少有人能留出足够的时间作全面检查，因此，在提高做题速度的同时必须在平时就注意提高做题的正确率，尽可能在考试时做第一遍难度小的题时就做圆满，不寄希望于再检验，然后，尽可能地留出十分钟左右时间检查有希望的得分题，因为这最后十分钟也许你做不出的难题已经希望不大了，所以有必要引起特别注意。

高考决不是仅凭一些“规律”便可取胜的，还需要大家用艰苦的劳动去圆自己理想的梦。每个人在学习条件、层次、兴趣、目的及生活习惯诸方面都各有差异，所以希望大家能够借鉴我们提供的经验，结合自己的情况付出努力，向自己心中的理想迈进!

2023年高考数学试题 第6篇

20XX年的数学试题注重考查数学应用素养，体现综合性和应用性的考查要求。试题设置的情境真实、贴近生活，同时具有深厚的文化底蕴，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用。理科Ⅰ卷第(6)题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合题，体现了中国古代的哲学思想。理科Ⅲ卷第(3)题，以学生阅读“四大名著”的调查数据为背景设计，情境贴近实际，为考生所熟悉。文、理科Ⅲ卷第(17)题以离子在生物体内残留情况为背景设计，反映了数学知识和方法在其他学科的应用。这些情境来源于我国社会主义建设的不同领域，结合社会现实，贴近生活，反映了数学应用的广阔领域，体现了数学的应用价值，有利于在中学数学教育中激发学生学习数学的热情，提高对数学价值的认识，提升数学素养，对中学的素质教育有很好的导向和促进作用。

2023年高考数学试题 第7篇

一、非标准

数列0,,…的一个通项公式为()

(nN+) (n∈N+)

(n∈N+) (n∈N+)

若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于()

设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,记数列{an}的前n项之积为Tn,则T20XX的值为()

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于()

数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(nN+),则数列{an}的通项公式

已知数列{an}的通项公式为an=(n+2),则当an取得值时,

设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式

设数列{an}的前n项和为已知a1=1,=an+1-n2-n-,nN+.

(1)求a2的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f"(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上,求数列{an}的通项公式及Sn的值.

(20XX湖南长沙模拟)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN+),则an等于()

已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(nN+).若bn+1=(n-λ),b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为()

λ>2 λ>3 λ<2 λ<3

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图,他们研究过图中的1,5,12,22,…,

由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数.若按此规律继续下去,第n个五角形数

(20XX安徽合肥质检)已知数列{an}满足:a1=1,2n-1an=an-1(nN,n≥2).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于?

设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,nN+.

(1)求a1的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

一、非标准解析:将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),nN+;分母为奇数列,可表示为2n-1,nN+,故选

解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,

=5×(5+1)

解析:由a2=,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,

从而T20XX=(-1)671×2×

解析:Sn=2an+1,

∴当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),即(n≥2).

又a2=,

an=(n≥2).

当n=1时,a1=1≠,

an=

∴Sn=2an+1=2×.

解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·+3,把n替换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两项相减得

或6解析:由题意令

解得

n=5或

解析:(n+1)+an+1·an-n=0,

∴(an+1+an)

又an+1+an>0,

(n+1)an+1-nan=0,

即,

·…·

=×…×,

∴

解:(1)依题意,2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以

(2)由题意2Sn=nan+1-n3-n2-n,

所以当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),

两式相减得,2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,

整理得(n+1)an-nan+1=-n(n+1),

即又=1,

故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,

所以=1+(n-1)×1=n,

所以

解:f(x)=ax2+bx(a≠0),

∴f"(x)=2ax+

又f"(x)=-2x+7,

a=-1,

∴f(x)=-x2+

∵点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上,

Sn=-n2+

当n=1时,a1=S1=6;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式,

an=-2n+8(n∈N+).

令an=-2n+8≥0得n≤4,当n=3或n=4时,Sn取得值

综上,an=-2n+8(nN+),且当n=3或n=4时,Sn取得值

解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(nN+),

∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得,2an=3an-1(n≥2).

又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,

∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.

C解析:由已知可得+1,+

又+1=2≠0,则+1=2n,bn+1=2n(n-λ),

bn=2n-1(n-1-λ)(n≥2).b1=-λ也适合上式,

故bn=2n-1(n-1-λ)(nN+).

由bn+1>bn,

得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ

2023年高考数学试题 第8篇

合理创设情境，体现教育功能。理科Ⅱ卷第(13)题以我国高铁列车的发展成果为背景、文科Ⅱ卷第(5)题以 “一带一路”知识测验为情境进行设计，引导学生关注现实社会和经济发展。理科Ⅱ卷第(4)题结合“嫦娥”四号实现人类历史首次月球背面软着陆的技术突破考查近似估算的能力，反映我国航天事业取得的成就。这些试题发挥了思想教育功能，体现了对德育的渗透和引导。

理科Ⅰ卷第(15)题、理科Ⅱ卷第(18)题分别引入了非常普及的乒乓球和篮球运动，以其中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，要求考生应用数学方法分析和解决体育问题。文科Ⅰ卷第(6)题设置了学校对学生体质状况进行调查的情境，考查学生的抽样调查知识。这些试题在考查学生数学知识的同时，引导学生加强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。

结合学科知识，展示数学之美。文、理科Ⅱ卷第(16)题融入了中国悠久的金石文化，赋以几何体真实背景，文、理科Ⅰ卷第(4)题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。

理论联系实际，引导劳动教育。文科Ⅰ卷第(17)题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡导高质量的劳动成果。文、理科Ⅲ卷第(16)题再现了学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，体现了劳动教育的要求。

2023年高考数学试题 第9篇

一、选择题

若点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()

过点P有且仅有一条直线与l，m都平行

过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直

过点P有且仅有一条直线与l，m都相交

过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

答案：B命题立意：本题考查异面直线的几何性质，难度较小.

解题思路：因为点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，故选

如图，P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()

平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

它们两两垂直

平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直

平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

答案：A解题思路：
DA⊥AB，DAPA，AB∩PA=A，

DA⊥平面PAB，又DA平面PAD， 平面PAD平面同理可证平面PAB平面把四棱锥P-ABCD放在长方体中，并把平面PBC补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，CD1D=APB，

CD1D<90°，故平面PAD与平面PBC不垂直.

设α，β分别为两个不同的平面，直线lα，则“lβ”是“αβ”成立的()

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

答案：A命题立意：本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力.

解题思路：依题意，由lβ，lα可以推出αβ;反过来，由αβ，lα不能推出lβ.因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要条件，故选

若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列结论正确的是()

若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线

若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线

已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若mα，则nβ

，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直

答案：B解题思路：本题考查了空间中线面的平行及垂直关系.在A中：因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故A为假命题;在B中：因为垂直于同一平面的两直线平行，故B为真命题;在C中：n可以平行于β，也可以在β内，也可以与β相交，故C为假命题;在D中：m，n也可以不互相垂直，故D为假命题.故选

如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为()

π π

π π

答案：D解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.如图可知，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为NM的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论MDN如何变化，点P到点D的距离始终等于故点P的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面，其面积为.

技巧点拨：探求以空间图形为背景的轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡.

如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

直线BE与直线CF是异面直线;直线BE与直线AF是异面直线;直线EF平面PBC;平面BCE平面

其中正确结论的序号是()

答案：B解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.画出几何体的图形，如图，由题意可知，直线BE与直线CF是异面直线，不正确，因为E，F分别是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线;直线BE与直线AF是异面直线，满足异面直线的定义，正确;直线EF平面PBC，由E，F是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以判断是正确的;由题中条件不能判定平面BCE平面PAD，故不正确.故选

技巧点拨：翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力.解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的.

二、填空题

如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，则异面直线BC与AE所成角的大小为

答案：45°解题思路：因为BCAD，所以EAD就是异面直线BC与AE所成的角.

因为平面ABCD平面CEFB，且ECCB，

所以EC平面

在RtECD中，EC=1，CD=1，故

在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sin

又因为EAD∈(0°，90°)，所以EAD=45°.

故异面直线BC与AE所成的角为45°.

给出命题：

异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;

两异面直线a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α;

两异面直线a，b，如果a平面α，那么b不垂直于平面α;

两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.

上述命题中，真命题的序号是

答案：解题思路：本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题为假命题;若bα，则ab，即a，b共面，这与a，b为异面直线矛盾，故命题为真命题;两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题为假命题.

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为

答案：16命题立意：本题以球的内接组合体问题引出，综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法，同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.

解题思路：设球心到底面的距离为x，则底面边长为，高为x+3，正六棱锥的体积V=_(9-x2)_6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中0≤x<3，则V′=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)

已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，则三棱锥与球的体积之比为

答案：命题立意：本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法，意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.

解题思路：依题意，AB=2R，又=，ACB=90°，因此AC=R，BC=R，三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=PO·而球的体积V球=R3，因此VP-ABCV球

三、解答题

如图，四边形ABCD与A′ABB′都是正方形，点E是A′A的中点，A′A平面

(1)求证：A′C平面BDE;

(2)求证：平面A′AC平面

解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直，从而得到平面与平面垂直.

解析：(1)设AC交BD于M，连接

四边形ABCD是正方形，

M为AC的中点.

又 E为A′A的中点，

ME为A′AC的中位线，

ME∥A′

又 ME?平面BDE，

A′C?平面BDE，

A′C∥平面

(2)∵ 四边形ABCD为正方形， BD⊥

∵ A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

A′A⊥

又AC∩A′A=A， BD⊥平面A′

BD?平面BDE，

平面A′AC平面

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，

(1)求证：D1CAC1;

(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由.

命题立意：本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定，考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直，从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系，借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行，证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.

解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接C1D， DC=DD1，

四边形DCC1D1是正方形，

DC1⊥

又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，

AD⊥平面DCC1D1，

又D1C平面DCC1D1，

AD⊥

∵ AD?平面ADC1，DC1平面ADC1，

且AD∩DC1=D，

D1C⊥平面ADC1，

又AC1平面ADC1，

D1C⊥

(1)题图

(2)题图

(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接

平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使D1E平面A1BD，

可使MND1E，又M是AD1的中点，

则N是AE的中点.

又易知ABN≌△EDN，

即E是DC的中点.

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面

已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.

(1)证明：MN平面A′ACC′;

(2)求三棱锥C-MNB的体积.

命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

解析：(1)证明：如图，连接AB′，AC′，

四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，

AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点.

MN∥AC′.

又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，

MN∥平面A′ACC′.

(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN，

BAC=90°， BC==2，

又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，且AA′=4，

S△

A′B′=A′C′=2，BAC=90°，点N为B′C′的中点，

A′N⊥B′C′，A′

又BB′⊥平面A′B′C′，

A′N⊥BB′，

A′N⊥平面

又M为A′B的中点，

M到平面BCN的距离为，

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，BD=2AD=8，

(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD;

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

命题立意：本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想.

解析：(1)证明：在ABD中，因为AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+

故

又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

所以BD平面PAD，

又BD平面MBD，

所以平面MBD平面

(2)过点P作OPAD交AD于点O，

因为平面PAD平面ABCD，

所以PO平面

因此PO为四棱锥P-ABCD的高.

又PAD是边长为4的等边三角形，

所以

在四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，

所以四边形ABCD是梯形.

在Rt△ADB中，斜边AB上的高为=，此即为梯形ABCD的高.

所以四边形ABCD的面积

故四棱锥P-ABCD的体积

2023年高考数学试题 第10篇

应用问题在素材选取上，源于社会实际和学生的真实生活，考查学生数学应用素养、理性思维素养，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。例如第(15)题，以环保部门要求相关企业加强污水处理，排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体，贴近生活，是对数学学习后所沉淀下来的素养的考查，要求考生能够在短时间内审清题意，理清解决问题的思路，建立适当的数学模型来解决问题，体现试题的教育价值。例如第(10)题，以20XX年3月14日全球首个国际圆周率日为背景，结合中国优秀传统数学文化中的“割圆术”及近代数学史上西方的阿尔?卡西法，感悟数学“近似计算”之美，将美育教育融入数学教育。引导学生关注世界，学习世界灿烂的数学文化。例如第(18)题，以学生身边的两项活动方案来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关。这类问题重点考查数据处理能力，也增强学生用数据表述及解决现实问题的意识。

纵观整份试卷，在突出基本知识、基本技能和基本思想方法考查的同时，突出考查学生的数学素养，展现数学的应用价值。保持了北京试卷综合、灵活的特色，变中求稳，稳中求进，给不同能力水平的学生提供了展示的平台，对今后的数学教学起到了积极的引导作用

2023年高考数学试题 第11篇

整份试卷注重对基础知识和基本方法的考查，主干内容重点考查。例如，选择题的前5道题和填空题前3道题，涉及内容都是基础知识和基本方法，考查了集合、复数、二项式定理、三视图、两点间的距离公式、函数定义域、双曲线的性质、平面向量等内容。在试题设计上，这些试题涉及的知识点相对较少、思维相对简单，易于解答。在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了对数学知识考查的全面性、基础性和综合性，在解答题中重点考查了立体几何、三角函数、概率统计、导数、直线与圆锥曲线、数列综合等主干内容。解答题的前2道题，表述简单明确，集中考查立体几何和解三角形的主干知识及核心概念。再例如第(18)题，情境熟悉，问题清楚，重点考查读题、读表、计算等基本技能及方法。

2023年高考数学试题 第12篇

试卷突出了数学学科素养，在关注考生未来发展的同时，以能力立意，强调了数学方法和数学本质的考查，在选拔功能等方面都作了精心设计。例如，第(6)题表面上是解不等式，实质是在考查基本初等函数的图像，有助于学生建立形与数的联系，加深对事物本质和发展规律的理解和认知，体现了直观想象核心素养;第(18)题的解决需要学生分析数据，从数据中获得有用信息并形成数学模型，注重了对公民应具备的基本数学素养——数据分析的考查;第(20)题考查了解析几何中的主要方法，需要学生具备一定的数学运算核心素养，并能够程序化思考问题;第(21)题是以数列知识为背景的创新问题，梯度明显，重点考查了学生的逻辑推理素养，对学生有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和数学交流能力有一定的要求。此外，从第(18)题到第(21)题，虽然每道题都考查了数学的主干知识和主要方法，入口也很容易，但其出口并不简单，试题在让不同层次的学生均有所获得同时，进行多题把关，体现了试题的选拔功能。

2023年高考数学试题 第13篇

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程y2=2pxy2=-2p_2=2pyx2=-2py

直棱柱侧面积S=c_h斜棱柱侧面积S=c"_h

正棱锥侧面积S=1/2c_h"正棱台侧面积S=1/2(c+c")h"

圆台侧面积S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi_r2

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：
其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c_h 斜棱柱侧面积 S=c"_h

正棱锥侧面积 S=1/2c_h" 正棱台侧面积 S=1/2(c+c")h"

圆台侧面积 S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi_r2

圆柱侧面积 S=c_h=2pi_h 圆锥侧面积 S=1/2_c_l=pi_r_l

弧长公式 l=a_r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2_l_r

锥体体积公式 V=1/3_S_H 圆锥体体积公式 V=1/3_pi_r2h

斜棱柱体积 V=S"L 注：其中,S"是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式 V=s_h 圆柱体 V=pi_r2h

2023年高考数学试题 第14篇

1、混淆命题的否定与否命题

命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。

2、忽视集合元素的三性致误

集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

3、判断函数奇偶性忽略定义域致误

判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。

4、函数零点定理使用不当致误

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)>0时，不能否定函数y=f(x)在(a，b)内有零点。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题。

5、函数的单调区间理解不准致误

在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

6、三角函数的单调性判断致误

对于函数y=Asin(ωx+φ)的单调性，当ω>0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决;但当ω<0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。

7、向量夹角范围不清致误

解题时要全面考虑问题。数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。

8、忽视零向量致误

零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线。它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视。

9、对数列的定义、性质理解错误

等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数;一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N_)是等差数列。

10、an与Sn关系不清致误

在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2。这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点。

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